【解答速報】2019年度センター試験数学ⅡB第1問の解答・解説


こんにちは。武田塾茂原校です。

早速、2019年度センター試験数学ⅡB第1問の解説をしていきます。

第1問の難易度 ★★★☆☆ 標準

解答 (ア、イ)-1(ウ、エ)2,3(オ、カ)1,2(キ、ク、ケ)2,2,1

解説

〔1〕

(1)θ=0のとき、sinθ=0、cosθ=1より、f(0)=0+0-1=-1(ア、イ)

θ=π/3のとき、sinθ=√3/2、cosθ=1/2より、f(π/3)=2+√3(ウ、エ)

(2)半角の公式より cos^2θ=(1+cos2θ)/2(オ、カ)

           sin^2θ=(1-cos2θ)/2

問題の誘導通り2倍角の公式を用いて計算すると、cos2θ=1-2sin^2θ=2cos^2θ+1であるから、左辺と中辺よりsin^2θ=(1-cos2θ)/2(オ、カ)、左辺と右辺よりcos^2θ=(1+cos2θ)/2となる。

また、2倍角の公式よりsin2θ=2sinθcosθ、すなわちsinθcosθ=sin2θ/2

これより、f(θ)=3(1-cos2θ)/2+4sin2θ/2-(1+cos2θ)/2

これを計算すると、f(θ)=2sin2θ-2cos2θ+1(キ、ク、ケ)

解答(ス)3(セ、ソ)4、2(小さい順にと書いてあるため順番に注意)

解説

(3)f(θ)=2sin2θ-2cos2θ+1に三角関数の合成公式を用いると、

f(θ)=2√2sin(2θ-π/4)+1となる。

0≦θ≦πのとき-π/4≦2θ-π/4≦7π/4となるので、-2√2≦2√2sin(2θ-π/4)≦2√2

よって-2√2+1≦f(θ)≦2√2+1となる。

ここで、mはf(θ)が取りうる最大の整数であり、2<2√2<3であるから3<f(θ)<4となり、m=3となることがわかる。(ス)

また、0≦θ≦πにおいてf(θ)=3となるとき、

2√2sin(2θ-π/4)=2

sin(2θ-π/4)=1/√2

これを満たすのは2θ-π/4=π/4、3π/4の2つである。

これを計算するとθ=π/4、π/2となる。(セ、ソ)

解答(タ)2(チ)2(ツ、テ)2、1

解説

〔2〕真数条件より、x+2>0、y+3>0である。すなわち、x>-2、y>-3。(タ)

底の変換公式によりlog[4](y+3)=log[2](y+3)/log[2]4=1/2×log[2]y+3(チ)

※[]で囲まれた数字は底

これを②の式に代入すると、

log[2](x+2)-log[2](y+3)=-1

log[2](x+2)/(y+3)=-1

これより、(x+2)/(y+3)=2^-1=1/2

これを整理するとy=2x+1となる。(ツ、テ)

解答(ト、ナ、ニ、ヌ)1、1、1、8(ネ、ノ)0、9(ハ)2(ヒ、フ)1、2(ヘ、ホ)3、4

解説

t=(1/3)^xとおくとき③の式は、

(1/3)^y-11(1/3)^(x+1)+6=0

(1/3)^(2x+1)-11(1/3)^(x+1)+6=0

(1/3)^2x-11(1/3)^x+18=0

t^2-11t+18=0(ト、ナ、ニ、ヌ)

これを因数分解すると(t-2)(t-9)=0となり、t=2,9となる。

ここで、xは真数条件よりx>-2であるため、t<(1/3)^-2=9。

また、t=(1/3)^xよりt>0。

よって0<t<9となる。(ネ、ノ)

この範囲ではt=9は不適。よってt=2となる。(ハ)

t=(1/3)^x=2であるから3^-x=2、すなわちlog[3]2=-x。

よってx=-log[3]2=log[3]1/2となる。(ヒ、フ)

y=2x+1に代入して、

y=2log[3]1/2+1

=log[3]1/4+log[3]3

=log[3]3/4(ヘ、ホ)

◆解いてみた所感

三角関数の2倍角(半角)や合成から最大値、指数関数・対数関数の基本的な計算や定義を理解しているかを問う問題で構成されています。基礎をしっかりと勉強して身についている方にとっては全問正解も狙える問題であったと思います。

解けない問題があった方は基礎の抜けがありますので私立大学一般入試や国公立二次試験にむけてしっかりと復習をしておきましょう。

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